カタン戦略計算機交渉なしEV・確率エンジン

解いているもの: 交渉なしカタンの初期配置フェーズは隠れ情報のない有限の完全情報ゲームなので、後ろ向き帰納法で解けます。本ツールは初期配置ドラフトの部分ゲーム完全均衡（2人=厳密全数探索、明示した評価関数のレースモデル）を計算し、加えて正確な確率計算・EV・モンテカルロを備えます。ゲーム全体の厳密GTOが計算不能である理由も下部「計算モデル」に明記しています。

計算モデルの説明（式・前提・限界）

「GTOを解く」とはどこまで可能か

カタン全体の厳密な均衡解は計算不能です。1ターンごとにサイコロで最大11分岐、建設・発展カードの選択肢、隠れた山札が掛け合わさり、ゲーム木は10¹⁰⁰を優に超えます（比較: 完全解析済みのチェッカーは約10²⁰局面）。これは近似ではどうにもならない規模であり、「カタンのGTO」を厳密に解いたと主張するツールはすべて何らかの評価関数への置き換えを含みます。

一方で交渉なしカタンの初期配置フェーズは、隠れ情報のない有限の完全情報ゲームです（ゲーム本編で非公開になるのは購入後の発展カードのみで、交渉なしなら同時手番もほぼありません）。ゆえに配置の部分ゲームは後ろ向き帰納法（バックワードインダクション）で厳密に解けます。本ツールが「解く」のは次の部分です。

初期配置ドラフト（GTO配置ソルバー）: スネークドラフト（2人なら P1→P2→P2→P1）は有限の完全情報ゲームです。下記のレース評価関数の下で、2人の場合は到達時間差のゼロ和ゲームとして全数探索し、部分ゲーム完全均衡を厳密に計算します（先手の全候補 × 後手の全ペア × 先手の最適応手。相手を完全封鎖する手も評価対象）。残り3手以下なら人数によらず全数探索。3〜4人のフル読みのみ、各手番を静的評価上位に絞るビーム探索（近似と明記）です。なお生産も港もない頂点は候補から除外します（自己生産を放棄する純ブロック配置は非考慮。候補が極端に少ない盤面では全合法頂点に自動フォールバック）。
確率計算: サイコロ分布・生産期待値・山札の超幾何分布は厳密値です。
建設速度: 方策固定のモンテカルロ推定（2万試行）です。

ソルバーの評価関数（10VP到達の段階的レースモデル）

各プレイヤーの配置の価値は「10VPに到達する最小ターン数 T」で測ります。初期2軒（2VP）から+8VPへ至る固定順序のプランを3種用意し、最速のものを採用します。

都市・発展型: 都市化×2 → 3軒目の入植（街道2+入植） → 3軒目を都市化 → 発展カード（騎士3枚＋勝利点2枚が揃うまでの期待 ?枚）で最大騎士力+VP2。
拡張型: 入植×3（各街道2+入植） → 都市化×3 → 最長交易路（+街道2、計8本）。
バランス型: 都市化 → 入植 → 都市化 → 入植 → 都市化 → 発展カード（騎士3+VP1の期待 ?枚）。

T の計算は段階的流体モデルです: 毎ターン期待枚数 ピップ/36 を連続量として獲得し、余剰を銀行/港レートで交換。各段階の最小所要 Δt は Σ 余剰_r/レート_r ≥ Σ 不足_r（Δt について単調）を二分探索で解き、購入後の余りは次段階へ繰り越します。都市化するとその頂点の生産が実際に2倍になり、以後の段階が速くなります（複利効果を反映）。3軒目以降の新規入植地は「盤面の頂点をピップ順に並べた8番手の地点」の生産を得ると仮定します（盤面ごとの定数・出典明示のための近似）。2軒目の入植地の初期資源（隣接する砂漠以外の各タイルから1枚）も初期手札として算入し、2手連続で置くプレイヤーはどちらを2軒目にするかも最適化・探索されます。

発展カードは中身まで評価します: 山札25枚の構成に対し「騎士3枚かつ勝利点k枚が揃うまでの期待購入枚数」を多変量の負の超幾何分布として厳密に計算し（確率・山札タブに定数を表示）、その枚数分のコスト（羊麦鉱×枚数）をプランに計上します。単一種の場合は閉形式 j(N+1)/(K+1) に一致します。

この均衡が「厳密」なのは評価関数の内側の話です。残る限界: 街道の具体的な位置取り、盗賊・騎士による妨害、最大騎士力・最長交易路の他家との競争、サイコロの分散（分散は建設速度タブのモンテカルロで確認できます）、相手の拡張による将来スポットの競合は含みません。

基本確率

2個のサイコロで出目 n が出る確率は P(n) = (6 − |7 − n|) / 36。「ピップ」はその分子（36分率）で、6と8が5ピップ、2と12が1ピップです。

盤面生成

「ランダム盤面」は既定で公式の可変セットアップに従います: 地形タイルのみをシャッフルし、数字トークンは裏のアルファベット順の固定数列 5,2,6,3,8,10,9,12,11,4,8,10,9,4,5,6,3,11（A〜R）を、外周の任意の角から反時計回りに、砂漠を飛ばしてスパイラル配置します。つまり数字の並び自体は固定で、変わるのは地形と開始角だけです。設定で「完全ランダム」（数字もシャッフル・6/8隣接回避つき）にも切替できます。なお「標準盤面」はルールブック記載の初心者用固定配置で、これはスパイラルとは別物です。数字は「数字」モードで手動編集もできます。

入植地候補スコア

スコア = (Σ_r ピップ_r × w_r × 逓減_r) × 多様性 + 港ボーナス

w_r = 戦略重み_r × 希少性_r。希少性は 盤面平均供給 ÷ その資源の総ピップ（0.5〜2.0に制限）。盤面に少ない資源の地点ほど高評価。
逓減（2軒目以降）: 6 / (6 + 自分の既存ピップ_r)。既に多く生産している資源の限界価値を下げ、2軒目の相補性を評価。
多様性: 1 + 0.04 × (資源種類数 − 1)。
港: 3:1港は基礎スコア×8%、2:1港は 0.45 × その資源ピップ × w_r を加算（余剰の倍率交換の近似）。標準盤面・ランダム盤面には実物の枠と同じ9港（3:1×4・各資源2:1×1）を沿岸へ自動配置します（位置はほぼ等間隔の近似。港モードで自由に編集可能）。
距離ルール（隣接頂点に建物があると建設不可）を満たす頂点のみ表示。

重み付けの係数（0.04, 8%, 0.45, 逓減定数6）は理論値ではなく、実戦則を透明化したヒューリスティックです。素のピップ合計も常に併記します。

手番の有利不利（先攻・後攻）

スネークドラフト（2人: 1→2→2→1、4人: 1→2→3→4→4→3→2→1）は手番の格差を抑える設計ですが、レースモデルで測ると差は残ります。ソルバータブの「手番の有利不利」で、現在の盤面での各手番の均衡到達Tを2〜4人分比較できます。参考値（標準初心者盤面・港プリセットあり）:

2人（厳密）: 先手 58.1T vs 後手 59.5T — 先手が+1.4T有利。
3人（ビーム近似・拡幅安定）: 58.1 / 59.2 / 59.9T — 1番手有利、3番手が−1.8T。
4人（ビーム近似）: 58.3 / 59.2 / 61.0 / 62.9T — 1・2番手はほぼ互角（探索幅により順位が入れ替わることがある）、3番手−2.7T・4番手−4.6Tと後ろの手番ほど明確に不利。

ただしこれは盤面依存です。良スポットの数・質・港との組合せ次第で後手有利にもなります（実際、ランダム盤面では2人で先手が−2.3T不利になる例も観測されます。後手は2連続ピックで最良の相補ペアを確保できるため）。一般論としてではなく、その都度この盤面で計算してください。

生産力

1ロールあたりの期待獲得 E[r] = Σ(隣接ヘクス) P(出目) × 建物係数（入植地=1、都市=2）。盗賊が乗ったヘクスは生産しません（トグルで考慮/無視を切替）。

建設速度（モンテカルロ）

現在の建物と手札から2万回試行。各ターン2d6を振り、7なら手札8枚以上で半分廃棄（目標コストへの余剰が大きい資源から捨てる）、それ以外は生産。毎ターン、銀行/港交換（不足数 ≦ Σ⌊余剰_r ÷ レート_r⌋ なら到達可能）を含めて目標コストに到達した最初のターンを記録します。前提: 生産設備は増えない・盗賊は現在位置に固定（既定ではそのヘクスは生産せず、「盗賊ブロック考慮」トグルで無視も可）・他家の妨害は無視・騎士/独占なし。

盗賊配置EV

ヘクス h に置いた場合の各プレイヤーの期待損失 = P(出目_h) × Σ その隣接建物係数（カード/ロール）。推奨は「相手の損失合計 − 3×自分の損失」を最大化する配置です。

発展カード

山札25枚（騎士14・勝利点5・街道建設2・収穫2・独占2）。既出枚数を入力すると、次の1枚の確率と、n枚引いた時に特定種が1枚以上含まれる確率 1 − C(残り−種, n) ÷ C(残り, n)（超幾何分布）を計算します。